Pada kesempatan ini kita akan bahas tentang turunan fungsi trigonometri.
Kita akan bahas secara detail dan lengkap mulai dari pengertian turunan fungsi trigonometri, beserta rumus dan contoh soalnya.
Daftar Isi
Pengertian Turunan Fungsi Trigonometri
Turunan Fungsi Trigonometri adalah turunan dari fungsi sinus dan kosinus, yang didapat dari konsep limit atau persamaan turunan yang melibatkan fungsi – fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, cot, sec dan csc.
Jika y=sin x maka y’ = cos x
Jika y=cos x maka y’ = –sin x
Dari rumus dasar diatas tersebut, diturunkanlah rumus pengembangan, yaitu turunan fungsi tangens, cotangens, secan dan cosecan.
Proses pengembangan rumus tersebut adalah:
y = tan x maka y’ = sec2x
y = cot x maka y’ = – cosec2x
y = sec x maka y’ = sec x . tan x
y = cosec x maka y’ = – cosec x . tan x
Daftar rumus turunan fungsi trigonometri
| Fungsi | Turunan |
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | – Sin(x) |
| tan(x) | sec2(x) |
| cot(x) | -csc2(x) |
| sec(x) | sec(x) tan(x) |
| csc(x) | –csc(x) cot(x) |
Maka, terdapat rumus pengembangan turunan fungsi trigonometri dengan aturan rantai, yaitu sebagai berikut ini ;
Misalkan u(x) merupakan fungsi yang terdefinisi pada x bilangan real dan f(u) = sin u, maka:
untuk
y= f [u(x)]
diperoleh
y’ = f ‘ [u(x)]. u’(x)
y’= (cos u)(u’)
y’= u’.cos u
Sehingga dengan cara yang sama dapat disimpulkan bahwa jika u merupakan fungsi yang terdefinisi pada bilangan real, maka diperoleh ;
Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri
1. Misalkan u adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x, dimana u’ merupakan turunan u terhadap x, maka ;
| Fungsi | Turunan |
| sin(u) | cos (u) . u’ |
| cos(u) | – Sin(u) . u’ |
| tan(u) | sec2(u) . u’ |
| cot(u) | -csc2(u) . u’ |
| sec(u) | sec(u) tan(u) . u’ |
| csc(u) | –csc(u) cot(u) . u’ |
2. Berikut ini merupakan turunan dari fungsi – fungsi rumus sin cos tan trigonometri dalam variabel sudut ax +b, dimana a dan b ialah bilangan real dengan a≠0 ;
| Fungsi | Turunan |
| sin(ax + b) | a cos (ax + b) |
| cos(ax + b) | -a Sin(ax + b) |
| tan(ax + b) | a sec2(ax + b) |
| cot(ax + b) | –a csc2(ax + b) |
| sec(ax + b) | a sec(ax + b) tan(ax + b) |
| csc(ax + b) | –a csc(ax + b) cot(ax + b) |
Contoh Soal
Turunan pertama dari f(x) = 4 cos (5 – 7x) adalah f ‘ (x) = …..
Jawab ;
f(x) = 4 cos (5 – 7x)
f’(x) = (-4)×(-7) × sin (5 – 7x)
f’(x) =28 sin (5 – 7x)