Hai para pelajar setanah air, pada kesempatan kali ini kita akan membahas tentang logika matematika, untuk menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan. Mari langsung saja kita bahas.
Daftar Isi
Kalimat Tertutup Atau Pernyataan Tertutup
Kalimat atau pernyataan tertutup merupakan suatu pernyataan yang nilai kebenarannya sudah jelas atau sudah pasti.
“hasil dari dua ditambah tiga adalah bilangan ganjil”
kalimat diatas bernilai benar karena 2+3 = 5, dan 5 adalah bilangan ganjil
“hasil dari tujuh dibagi dua adalah bilangan bulat”
Kalimat di atas bernilai salah karena 7 ÷ 2 = 3,5 (bilangan desimal) atau 3½ (pecahan campuran)
Kalimat Terbuka Atau Pernyataan Terbuka
Kalimat atau pernyataan terbuka merupakan suatu pernyataan yang nilai kebenarannya belum ditentukan atau bisa berubah tergantung variabelnya.
f(x): 2x + 3 > 5 , x ∈ R
Untuk x = 2, maka f(2) = 7 , karena 7 > 5 maka “f(2): 2×2 + 3 > 5” bernilai benar
Untuk x = 1, maka f(1) = 5 , karena 5 = 5 jadi “f(1): 2×1 + 3 > 5” bernilai salah
Negasi atau ingkaran
Negasi / ingkaran merupakan kebalikan nilai dari sebuah pernyataan. Saat sebuah pernyataan bernilai benar, maka negasinya bernilai salah. Begitu pula sebaliknya, saat sebuah pernyataan bernilai salah, maka negasinya bernilai benar.
Negasi dari pernyataan p dilambangkan dengan ~p. Dengan tabel kebenaran sebagai berikut.
| p | ~p |
| B | S |
| S | B |
p : 3 adalah bilangan prima (benar)
~p : 3 bukan bilangan prima (salah)
p : 9 adalah bilangan genap (salah)
~p : 9 bukan bilangan genap (benar)
Kalimat Majemuk atau Pernyataan Majemuk
Kalimat atau pernyataan majemuk adalah beberapa pernyataan yang digabung menjadi satu dengan menggunakan kata penghubung logika. Berikut adalah daftar kata penghubung yang digunakan dalam logika matematika.
| Kata Hubung | Istilah | Lambang |
| Dan | Konjungsi | ˄ |
| Atau | Disjungsi | ˅ |
| Jika …, Maka … | Implikasi | ⇒ |
| Jika dan hanya jika | Biimplikasi | ⇔ |
Konjungsi
Konjungsi merupakan penghubung 2 kalimat yang menghasilkan kalimat majemuk yang hanya bernilai benar saat kedua kalimat masing-masing bernilai benar. Konjungsi dinotasikan dengan ˄. Berikut adalah tabel kebenaran konjungsi.
| p | q | ˄ |
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | S |
| S | S | S |
p : 2 adalah bilangan prima (benar)
q : 3 adalah bilangan prima (benar)
p ˄ q : 2 dan 3 adalah bilangan prima (benar)
p : 2 adalah bilangan genap (benar)
q : 3 adalah bilangan genap (salah)
p ˄ q : 2 dan 3 adalah bilangan genap (salah)
p : 2 adalah bilangan ganjil (salah)
q : 3 adalah bilangan ganjil (salah)
p ˄ q : 2 dan 3 adalah bilangan ganjil (salah)
p : 2 adalah bilangan negatif (salah)
q : 3 adalah bilangan negatif (salah)
p ˄ q : 2 dan 3 adalah bilangan negatif (salah)
Disjungsi
Disjungsi merupakan penghubung 2 kalimat yang menghasilkan kalimat majemuk yang hanya bernilai salah saat kedua kalimat masing-masing bernilai salah. Disjungsi dinotasikan dengan ˅. Berikut adalah tabel kebenaran Disjungsi.
| p | q | ˅ |
| B | B | B |
| B | S | B |
| S | B | B |
| S | S | S |
p : 4 habis dibagi 2 (benar)
q : 6 habis dibagi 2 (benar)
p ˅ q : 4 atau 6 habis dibagi 2 (benar)
p : 4 habis dibagi 4 (benar)
q : 6 habis dibagi 4 (salah)
p ˅ q : 4 atau 6 habis dibagi 4 (benar)
p : 4 habis dibagi 3 (salah)
q : 6 habis dibagi 3 (benar)
p ˅ q : 4 atau 6 habis dibagi 3 (benar)
p : 4 habis dibagi 5 (salah)
q : 6 habis dibagi 5 (salah)
p ˅ q : 4 atau 6 habis dibagi 5 (salah)
Implikasi
Kalimat pertama yang dihubungkan oleh implikasi disebut hipotesa (p), sedangkan kalimat kedua disebut konklusi (q). Implikasi merupakan penghubung 2 kalimat yang menghasilkan kalimat majemuk yang hanya bernilai salah saat konklusi bernilai salah. Implikasi dinotasikan dengan ⇒. Berikut adalah tabel kebenaran implikasi.
| p | q | ⇒ |
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | B |
| S | S | B |
p : 10 adalah bilangan genap (benar)
q : 10 habis dibagi 2 (benar)
p ⇒q : Jika 10 adalah bilangan genap, maka 10 habis dibagi 2 (benar)
p : 10 adalah bilangan genap (benar)
q : 10 habis dibagi 3 (salah)
p ⇒q : Jika 10 adalah bilangan genap, maka 10 habis dibagi 3 (salah)
p : 10 habis dibagi 15 (salah)
q : 10 habis dibagi 5 (benar)
p ⇒q : Jika 10 habis dibagi 15, maka 10 habis dibagi 5 (benar)
p : 10 tidak habis dibagi 2 (salah)
q : 10 adalah bilangan ganjil (salah)
p ⇒q : Jika 10 tidak habis dibagi 2, maka 10 adalah bilangan ganjil (benar)
Implikasi memiliki beberapa bentuk lain yang disebut konvers, invers, dan kontraposisi. Berikut Tabelnya:
| Pernyataan Majemuk | Konvers | Invers | Kontraposisi |
| p ⇒q | q ⇒p | ~p ⇒~q | ~q ⇒~p |
Konvers, invers, dan kontraposisi pada dasarnya adalah bentuk lain dari implikasi. Jadi untuk menemukan nilai kebenarannya tetap mengacu pada nilai kebenaran pernyataannya masing-masing dengan aturan tabel kebenaran implikasi.
Biimplikasi
Biimplikasi merupakan penghubung 2 kalimat yang menghasilkan kalimat majemuk yang bernilai benar saat kedua kalimat memiliki nilai kebenaran yang sama.
Dengan kata lain, saat 2 kalimat memiliki nilai kebenaran yang berbeda, maka Biimplikasi menghasilkan kalimat majemuk yang bernilai salah.
Biimplikasi dinotasikan dengan ⇔. Berikut adalah tabel kebenaran implikasi.
| p | q | ⇔ |
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | S |
| S | S | B |
p : 7 adalah bilangan prima (benar)
q : 7 tidak punya faktor selain 1 dan 7 (benar)
p ⇔q : 7 adalah bilangan prima jika dan hanya jika 7 tidak punya faktor selain 1 dan 7 (benar)
p : 7 adalah bilangan prima (benar)
q : 7 punya faktor selain 1 dan 7 (salah)
p ⇔q : 7 adalah bilangan prima jika dan hanya jika 7 punya faktor selain 1 dan 7 (salah)
p : 7 bukan bilangan prima (salah)
q : 7 tidak punya faktor selain 1 dan 7 (benar)
p ⇔q : 7 bukan bilangan prima jika dan hanya jika 7 tidak punya faktor selain 1 dan 7 (salah)
p : 7 bukan bilangan prima (salah)
q : 7 punya faktor selain 1 dan 7 (salah)
p ⇔q : 7 bukan bilangan prima jika dan hanya jika 7 punya faktor selain 1 dan 7 (benar)
Penarikan Kesimpulan
Penarikan kesimpulan merupakan proses menarik suatu kesimpulan dari jika diketahui beberapa premis (pernyataan dan/atau pernyataan majemuk) yang berhubungan. Penarikan kesimpulan terbagi menjadi beberapa modus, yaitu:
| Modus | Premis 1 | Premis 2 | Kesimpulan (∴) |
| Modus Ponens | p ⇒q | p | q |
| Modus Tollens | p ⇒q | ~q | ~p |
| Modus Silogisme | p ⇒q | q ⇒r | p ⇒r |
Diketahui beberapa premis berikut:
Premis 1: Jika hari bensin habis, maka mesin tidak bisa menyala
Premis 2: Bensin habis
Kesimpulannya adalah
Premis 1 : p ⇒q
Premis 2 : p
Dengan modus ponens, maka ∴ = q
Jadi, kesimpulannya adalah mesin tidak menyala
Diketahui beberapa premis berikut:
Premis 1: Jika dia lulus SD, maka dia bisa melanjutkan ke SMP
Premis 2: Dia tidak melanjutkan ke SMP
Kesimpulannya adalah
Premis 1 : p ⇒q
Premis 2 : ~q
Dengan modus tollens, maka ∴ = ~p
Jadi, kesimpulannya adalah dia tidak lulus SD
Diketahui beberapa premis berikut:
Premis 1: Jika kamu bangun kesiangan, maka kamu tidak sempat sarapan
Premis 2: Jika kamu tidak sempat sarapan, maka kamu akan kelaparan di sekolah
Kesimpulannya adalah
Premis 1 : p ⇒q
Premis 2 : q ⇒r
Dengan modus silogisme, maka ∴ = p ⇒r
Jadi, kesimpulannya adalah jika kamu bangun kesiangan, maka kamu akan kelaparan di sekolah.
Biar lebih mantab, bisa coba latihan di contoh soal logika matematika ya.
Demikian pembahasan tentang logika matematika mulai dari pernyataan atau kalimat terbuka dan tertutup, negasi atau ingkaran, kalimat atau pernyataan majemuk, konjungi, disjungsi, implikasi, hingga biimplikasi yang disertai contohnya. Semoga bermanfaat bagi kamu yang sedang mempelajarinya. Selamat belajar.