Aritmatika, cabang matematika yang membahas angka, hubungan di antara angka, dan pengamatan pada angka dipelajari dan digunakan untuk memecahkan masalah.
Aritmatika (sebuah istilah yang berasal dari kata Yunani arithmos, “angka”) merujuk secara umum pada aspek-aspek dasar dari teori angka, seni pengukuran (pengukuran), dan perhitungan numerik (yaitu, proses penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, pangkat, dan akar).
Ahli matematika Jerman terkemuka, Carl Friedrich Gauss, dalam Disquises Arithmeticae (1801), dan beberapa ahli matematika modern telah menggunakan istilah ini untuk memasukkan topik yang lebih maju.
Daftar Isi
Definisi dan Sifat Dasar
Bilangan Asli
Dalam himpunan (atau set) objek (atau elemen), operasi untuk menentukan jumlah objek yang ada disebut penghitungan. Angka-angka yang diperoleh dengan demikian disebut angka penghitungan atau bilangan asli (1, 2, 3, …). Untuk himpunan kosong, tidak ada elemen, dan penghitungan menghasilkan angka 0, yang ditambahkan ke bilangan asli, menghasilkan apa yang dikenal sebagai bilangan bulat.
Jika objek dari dua himpunan dapat dicocokkan sedemikian rupa sehingga setiap elemen dari setiap himpunan secara unik dipasangkan dengan elemen dari himpunan lainnya, himpunan dikatakan sama atau setara.
Konsep himpunan setara adalah dasar untuk matematika modern dan telah diperkenalkan ke dalam pendidikan dasar, terutama sebagai bagian dari “matematika baru” yang telah diakui dan ditentang secara bergantian sejak muncul pada 1960-an. Lihat teori himpunan.
Penjumlahan dan Perkalian
Menggabungkan dua himpunan, yang berisi elemen a dan b, himpunan baru terbentuk yang berisi elemen a + b = c. Angka c disebut jumlah a dan b. Operasi menambahkan 2 bilangan (atau lebih) disebut penjumlahan, simbol + dibaca sebagai “plus.” Ini adalah operasi biner yang paling sederhana, di mana biner mengacu pada proses menggabungkan dua objek.
Dari definisi penghitungan jelas bahwa urutan penambah dapat diubah dan urutan operasi penjumlahan dapat diubah bila diterapkan penambah ke tiga, tanpa mempengaruhi jumlah. Ini disebut sifat komutatif dan sifat asosiatif.
Jika ada bilangan asli k sedemikian sehingga a = b + k, maka a lebih besar dari b (ditulis a> b) dan b kurang dari a (ditulis b <a). Jika a dan b adalah dua bilangan asli, maka a = b atau a> b atau a <b (hukum trikotomi).
Dari sifat di atas, terbukti bahwa jumlah yang diulang seperti 5 + 5 + 5 tidak tergantung pada cara di mana penambah dikelompokkan; dapat ditulis 3 × 5. Dengan demikian, operasi biner kedua yang disebut perkalian didefinisikan. Simbol × ini dibaca operasi “kali.” Jika huruf-huruf seperti a dan b digunakan untuk menunjukkan angka-angka, produk a × b sering ditulis a ∙ b atau hanya ab.
Sifat yang menyatakan bahwa urutan perkalian tidak memengaruhi hasil disebut sifat komutatif perkalian (a × b = b × a). Tetapi perlu dicatat bahwa sifat ini tidak berlaku untuk semua entitas matematika. Memang, banyak formulasi matematis dari fisika modern, sangat bergantung pada kenyataan bahwa beberapa entitas tidak berkaitan.
Urutan perkalian ketika diterapkan pada tiga angka tidak mempengaruhi hasil. Sifat ini disebut sifat asosiatif perkalian (a × b × c = c × b × a). Secara umum, dapat dibuktikan bahwa perkalian jumlah dengan jumlah sama dengan jumlah dua hasil kali yang bersesuaian. Sifat ini disebut sifat distributif ( a(b × c) = ab × ac ).
Bilangan Bulat
Pengurangan belum diperkenalkan karena alasan sederhana, yaitu dapat didefinisikan sebagai kebalikan dari penambahan. Jadi, perbedaan a – b dari dua angka a dan b didefinisikan sebagai solusi x dari persamaan b + x = a.
Jika sistem bilangan terbatas pada bilangan asli, selisih tidak harus selalu ada, tetapi, jika selisih diterapkan, lima sifat dasar aritmatika, dapat digunakan untuk membuktikan bahwa selisih bersifat unik.
Selanjutnya, sifat operasi penjumlahan dan perkalian dapat diperluas untuk diterapkan pada selisih. Seluruh angka (termasuk nol) dapat diperluas untuk memasukkan solusi 1 + x = 0 adalah angka −1, serta bisa diterapkan untuk mencari hasil kali dari bentuk −1 × n, di mana n adalah bilangan bulat.
Kumpulan bilangan yang diperluas disebut bilangan bulat, yang bilangan bulat positifnya sama dengan bilangan asli. Angka-angka yang baru diperkenalkan dengan cara ini disebut bilangan bulat negatif.
Eksponen
Seperti halnya penjumlahan berulang a + a + ⋯ + a dari sebanyak k bilangan ditulis ka, maka hasil perkalian berulang a × a × ⋯ × a dari sebanyak k bilangan ditulis ak. Angka k disebut eksponen.
Sifat-sifat dasar eksponen adalah sebagai berikut.
| Perkalian | bmbn = bm+n |
| Pembagian | bm÷bn = bm-n |
| Pangkat | (bm)n = bmn |
| Akar | q√(bn) = bn/q |
Teori Pembagi
Pada titik ini terjadi perkembangan yang menarik, selama ini hanya penjumlahan dan perkalian yang dilakukan dengan bilangan bulat, bilangan yang dihasilkan adalah bilangan bulat itu sendiri. Namun, karakteristik ini berubah secara drastis segera setelah pembagian diperkenalkan.
Pembagian pertunjukan (simbolnya ÷, dibaca “dibagi”) mengarah ke hasil, yang disebut pecahan, yang secara mengejutkan memasukkan angka-angka jenis baru yaitu bilangan rasional yang bukan bilangan bulat.
Meskipun bilangan ini muncul dari kombinasi bilangan bulat, namun merupakan perluasan yang berbeda dari bilangan asli dan konsep bilangan bulat seperti yang didefinisikan di atas. Melalui penerapan operasi pembagian, domain bilangan asli menjadi diperluas dan diperkaya.
Teori Dasar
Jika tiga bilangan bulat positif a, b, dan c berada dalam relasi ab = c, dikatakan bahwa a dan b adalah pembagi atau faktor dari c, atau bahwa pembagi c (ditulis a | c), dan b membagi c. Angka c dikatakan kelipatan a dan kelipatan b.
Angka 1 disebut unit, dan jelas bahwa 1 adalah pembagi setiap bilangan bulat positif. Jika c dapat dinyatakan sebagai hasil kali ab di mana a dan b adalah bilangan bulat positif masing-masing lebih besar dari 1, maka c disebut komposit. Bilangan bulat positif yang bukan 1 maupun komposit disebut bilangan prima. Jadi, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,… adalah bilangan prima. Matematikawan Yunani kuno Euclid membuktikan dalam Elements-nya (300 SM) bahwa ada bilangan prima yang tak terhingga banyaknya.
Teorema dasar aritmatika dibuktikan oleh Gauss dalam bukunya Disquises Arithmeticae. Ini menyatakan bahwa setiap bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan prima dengan mengabaikan urutan di mana faktor-faktor ditulis. Teorema Gauss mengikuti secara langsung dari teorema Euclid yang menyatakan bahwa jika bilangan prima membagi suatu hasil kali, maka ia juga membagi salah satu faktor dalam hasil kali tersebut; untuk alasan ini teorema dasar kadang-kadang dikreditkan ke Euclid.
Untuk setiap himpunan terbatas a1, a2,…, ak dari bilangan bulat positif, terdapat bilangan bulat terbesar yang membagi masing-masing angka-angka ini, yang disebut faktor persekutuan terbesar (FPB). Jika FPB = 1, angkanya dikatakan relatif prima. Ada juga bilangan bulat positif terkecil yang merupakan kelipatan dari masing-masing angka, yang disebut Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK).
Beberapa aturan pembagian
| Pembagi | Kondisi Angka | Contoh |
| 2 | Jumlahnya genap | 2, 4, 6, 8, … |
| 3 | Jumlah dari digit-digitnya dapat dibagi 3 | 222 (jumlah digit = 2+2+2 = 6), 111 (jumlah digit = 1+1+1 = 3), … |
| 4 | Dua digit terakhirnya membentuk angka yang dapat dibagi dengan 4 | 1024 (2 digit terakhir = 24), xxxx16 (2 digit terakhir = 16), … |
| 5 | Angka berakhir dengan 0 atau 5 | 5, 10, x5, xx0, … |
| 6 | Jumlahnya genap dan jumlah digitnya dapat dibagi dengan 3 | 222, 996, … |
| 8 | Tiga digit terakhir dalam angka membentuk angka yang dapat dibagi 8 | 1024 (3 digit terakhir = 24), xxx168 (3 digit terakhir = 168), … |
| 9 | Jumlah digit dalam angka dapat dibagi dengan 9 | 999, 819, 189, 333, 360, 306 |
| 10 | Angka berakhir dengan 0 | 10, 210, 3210, xxxx0, … |
| 11 | Selisih antara jumlah digit angka di tempat ganjil dan digit di tempat genap adalah 0 atau habis dibagi 11 | 121 ([1+1]-2 = 0), 9141 ([9+4]-[1+1] = 11), … |
Jika a dan b adalah dua bilangan bulat positif, dengan a> b, dua bilangan bulat q dan r ada sedemikian sehingga a = qb + r, dengan r kurang dari b. Angka q disebut sebagai partial quotient (hasil bagi jika r = 0), dan r disebut sisanya.
Menggunakan proses yang dikenal sebagai algoritma Euclidean, yang bekerja karena FPB a dan b sama dengan FPB b dan r, FPB dapat diperoleh tanpa terlebih dahulu memperhitungkan faktor a dan b menjadi faktor prima.
Algoritma Euclidean dimulai dengan menentukan nilai-nilai q dan r, setelah itu b dan r mengasumsikan nilai a dan b dan proses berulang sampai akhirnya sisanya adalah nol; sisa positif terakhir adalah FPB dari dua bilangan asli. Misalnya, dimulai dengan 544 dan 119:
a = qb + r
Langkah 1
544 = 4 × 119 + 68
119 = 1 × 68 + 51;
Langkah 2
68 = 1 × 51 + 17;
51 = 3 × 17.
Dengan demikian, FPB dari 544 dan 119 adalah 17.
Bilangan Rasional
Dari sudut pandang yang kurang abstrak, gagasan pembagian, atau pecahan, juga dapat dianggap muncul sebagai berikut: jika durasi proses yang diberikan harus diketahui dengan akurasi lebih dari satu jam, jumlah menit dapat ditentukan; atau, jika jam harus dipertahankan sebagai unit dasar, setiap menit dapat diwakili oleh 1/60
Secara umum, unit pecahan 1 / d didefinisikan oleh d × 1/d = 1. Angka n × 1/d ditulis n/d dan disebut pecahan umum. Ini dapat dianggap sebagai hasil n dibagi dengan d. Angka d disebut penyebut (menentukan unit pecahan atau denominasi), dan n disebut pembilang (ini menyebutkan jumlah unit fraksional yang diambil). Pembilang dan penyebut bersama-sama disebut istilah pecahan. Pecahan positif n/d dikatakan pecahan murni jika n <d; selain itu tidak murni.
Pembilang dan penyebut pecahan tidak unik, karena untuk setiap bilangan bulat positif k, pembilang dan penyebut pecahan masing-masing dapat secara bersamaan dikalikan dengan bilangan bulat k tanpa mengubah nilai pecahan. Namun, setiap pecahan dapat dituliskan sebagai hasil bagi dari dua bilangan bulat yang relatif prima.
Bilangan bulat dan pecahan merupakan bilangan rasional. Sifat dasar yang dinyatakan sebelumnya berkenaan dengan bilangan bulat positif dapat digeneralisasikan untuk diterapkan ke semua bilangan rasional.
1. Menambah dan mengurangi pecahan
Dari definisi pecahan dapat disimpulkan bahwa jumlah (atau selisih) dari dua pecahan yang memiliki penyebut yang sama adalah pecahan lain dengan penyebut tersebut, pembilangnya adalah jumlah (atau selisih) pembilang dari pecahan-pecahan yang dijumlahkan.
Dua Pecahan yang memiliki penyebut yang berbeda dapat ditambahkan atau dikurangi dengan terlebih dahulu menguranginya menjadi pecahan dengan penyebut yang sama. Jadi, untuk menambahkan a/b dan c/d, ada angka k dan l sedemikian sehingga kb = ld, dan kedua pecahan dapat ditulis dengan penyebut yang sama, sehingga jumlah atau selisih pecahan diperoleh dengan operasi sederhana menambah atau mengurangi pembilang baru dan menempatkan hasilnya di atas penyebut baru.
2. Mengalikan dan membagi pecahan
Untuk mengalikan dua pecahan dalam kasus salah satu bilangan adalah bilangan bulat, bilangan bulat tersebut ditempatkan di atas bilangan 1 untuk membuatnya menjadi bentuk pecahan. Pembilang dan penyebut dikalikan secara terpisah untuk menghasilkan pembilang dan penyebut pecahan baru:
a/b × c/d = ac/bd
Untuk membaginya dengan pecahan, bentuk ini harus dibalik – yaitu, pembilang dan penyebut ditukar – setelah itu menjadi perkalian:
a/b ÷ c/d = a/b × d/c = ad/bc
Bilangan Irasional
Telah diketahui oleh para pengikut matematikawan Yunani kuno Pythagoras bahwa, mengingat jika diketahui segmen garis lurus a dan unit segmen u, maka unit pecahan dimana a dan u adalah kelipatannya tidak selalu ada.
Misalnya, jika sisi-sisi dari segitiga siku-siku sama kaki memiliki panjang 1, maka oleh teorema Pythagoras, sisi miring memiliki panjang yang jika dikuadratkan bernilai 2 (√2). Tapi tidak ada bilangan rasional yang kuadratnya adalah 2.
Eudoxus dari Cnidus, seorang kontemporer dari Plato, menetapkan teknik yang diperlukan untuk memperluas angka di luar rasional. Kontribusinya, salah satu yang paling penting dalam sejarah matematika, dimasukkan dalam Elemen Euclid di tempat lain, dan kemudian terhenti hingga pertumbuhan periode modern dalam analisis matematika di Jerman pada abad ke-19.
Sudah menjadi kebiasaan untuk mengasumsikan secara intuitif bahwa, untuk setiap segmen garis dan setiap panjang unit, ada angka (disebut bilangan real positif) yang mewakili panjang segmen garis.
Tidak semua angka seperti itu rasional, tetapi setiap angka dapat didekati dengan angka rasional. Yaitu, jika x adalah bilangan real positif dan ε adalah bilangan rasional positif (sekecil apapun) sehingga memungkinkan untuk menemukan dua bilangan rasional positif a dan b dalam jarak ε satu sama lain sehingga x berada di antaranya; dalam simbol, diberi ε> 0, ada bilangan rasional positif a dan b sedemikian rupa sehingga b – a <ε dan a <x <b. Dalam masalah dalam pengukuran, bilangan irasional biasanya digantikan oleh perkiraan rasional yang sesuai.
Perkembangan bilangan irasional yang ketat berada di luar cakupan aritmatika. Bilangan irasional paling cocok diperkenalkan dengan cara potongan Dedekind (Dedekind Cut), seperti yang diperkenalkan oleh ahli matematika Jerman Richard Dedekind, atau urutan rasional, seperti yang diperkenalkan oleh Eudoxus dan dikembangkan oleh ahli matematika Jerman Georg Cantor. Metode-metode ini dibahas dalam analisis.
Penggunaan bilangan irasional sangat meningkatkan cakupan dan kegunaan aritmatika. Sebagai contoh, jika n adalah bilangan bulat dan a adalah bilangan real positif, maka terdapat bilangan real unik positif dan akar n√a, yang disebut akar ke-n dari a.
Simbol root Akar kuadrat (√) adalah bentuk r konvensional untuk radix atau “root.” Istilah evolusi kadang-kadang diterapkan pada proses menemukan pendekatan rasional ke akar ke-n.
Demikian sedikit pembahasan tentang aritmatika. Untuk pembahasan lebih lanjut, bisa anda pelajari di rumuspintar.com. Selamat belajar.